金银瓶1-5_社会要闻_ 为什么赌徒必然破产？金银瓶1-5

为什么赌徒必然破产？金银瓶1-5_ZAKER新闻

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本文来自微信公众号：孤独大脑（ID：lonelybrain），作者：老喻，题图来自：AI 生成一、先发优势有一个苹果，两个人抛硬币来决定谁吃这个苹果，先抛到正面者吃。问先抛的人吃到苹果的概率是多少？让我来一步步地解决这个概率问题。设先抛的人吃到苹果的概率为 P，分析可能的情况：第一次抛正面（概率 1/2）→先抛者吃苹果；第一次抛反面（概率 1/2）且第二次抛反面（概率 1/2）→继续新一轮，相当于重新开始；第一次抛反面（概率 1/2）且第二次抛正面（概率 1/2）→后抛者吃苹果。由此写出概率方程：P=1/2+ ( 1/2×1/2 ) ×P。解释：1/2 是第一次就抛到正面的概率； ( 1/2×1/2 ) ×P 是双方都抛到反面后重新开始的概率乘以重新开始后先抛者获胜的概率。求解方程：P=1/2+ ( 1/4 ) P3P/4=1/2‍P=2/3因此，先抛硬币的人吃到苹果的概率是 2/3（约 66.67%）。这个结果是符合直觉的：先抛的人有更大的机会，但优势并不是压倒性的。后抛的人仍有 1/3 的机会吃到苹果。很多时候，先下手为强啊。‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍二、递归概率在上面的计算里，P=1/2+ ( 1/2×1/2 ) ×P 还是有点儿奇怪，难道不用计算双方都一直没有抛到正面，后续在新一轮继续抛的可能性吗？让我们仔细思考一下为什么这个方程是完整的：当我们写出 P=1/2+ ( 1/2×1/2 ) ×P 时，这个方程实际上已经包含了所有可能的后续回合。因为：P 本身就代表了 " 先抛者最终获胜的概率 "。当双方都抛到反面时，整个游戏相当于重新开始，此时先抛者获胜的概率依然是 P。在这种 " 无限往复 " 的抛硬币问题中，确实不用显式地列出后续所有抛的可能性，因为在 " 双方都抛到反面 " 之后，整个过程会 " 回到原点 "，也就是回到了最初的情形——先抛的人仍旧先抛。这就涉及概率的递归性质。举个例子来说明后续回合是如何被包含的：第一轮：P=1/2+ ( 1/4 ) P；将第一个 P 展开：P=1/2+ ( 1/4 ) ( 1/2+ ( 1/4 ) P ) ；继续展开：P=1/2+1/8+ ( 1/16 ) P；再展开：P=1/2+1/8+ ( 1/16 ) ( 1/2+ ( 1/4 ) P ) ……（请忽略上面括号的混乱）如果我们把这个无限展开的级数加起来，最终会得到相同的结果：P=2/3。这就是为什么一个简单的方程 P=1/2+ ( 1/2×1/2 ) ×P 就能完整描述这个问题：它是一个递归方程，通过 P 自身就隐含地包含了所有可能的后续回合。这就是递归概率的核心：用一个方程把 " 无限回到初始 " 的情形压缩进一个简单的表示里。这种思维方式在很多概率问题中都很有用，尤其是在处理可能无限持续的过程时。接下来我们看一道有趣的题目，也就是这篇文章的主题：赌徒破产问题。三、赌徒破产赌徒破产问题是一个经典的概率递归问题，它不仅具备有趣的数学结构，更蕴含着深刻的现实意义。这个问题描述的是：一个赌徒带着初始资金去赌场，目标是赢到某个金额。每次赌博赢的概率为 p，输的概率为 1-p，每次赌注为 1 元。问题是：这个赌徒能赢到目标金额的概率是多少？让我们用数学语言来精确描述这个问题：初始资金：i 元目标金额：M 元单次赌博胜率：p单次赌注：1 元待求：从 i 元开始赢到 M 元（包含本金）的概率 P ( i ) 用递归思路分析，考虑赌徒第一次赌博后的情况：赢了（概率 p）：资金变为 i+1；输了（概率 1-p）：资金变为 i-1。‍ 因此可以写出递归方程：P ( i ) =p · P ( i+1 ) + ( 1-p ) · P ( i-1 ) 。边界条件为：P ( 0 ) =0（破产）；P ( M ) =1（达到目标）。以下会有两种情况，去的是公平赌场和不公平赌场。1. 公平赌场（p=0.5）当 p=0.5 时，递归方程变为：P ( i ) =0.5 · P ( i+1 ) +0.5 · P ( i-1 ) 。整理得：P ( i+1 ) -2P ( i ) +P ( i-1 ) =0。这是一个等差数列方程，结合边界条件可解得（这里略去二阶差分方程的计算过程）：P ( i ) =i/M。这个解的物理意义是：在公平赌场中，从 i 元开始，赢到 M 元（包含本金）的概率 ‍‍ 等于初始资金占目标金额的比例。这个简洁的结果完美地反映了 " 公平赌场 " 的特性：获胜概率与初始资金成正比，与目标金额成反比。这意味着什么？即使在公平赌场（p=0.5）：获胜概率随目标金额线性下降。赌场资金远大于赌徒，相当于 M 趋近无穷。最终获胜概率趋近于零即使你是一个理性的赌徒，也不能例外。‍‍‍‍‍‍‍我们用数字来一个个推演一下。根据P ( i ) =i/M，i 是你带入赌场的钱，M 是你带走的钱。所以，假如你进了赌场，根本不赌，晃悠一圈，观察一下概率如何在人间被极少数人类用于操纵如此一大群人，然后离开。‍‍‍‍‍这样的话，你的 i 等于 M，并且实现的概率是 100%。‍‍‍‍‍‍‍你也许会说：这个 100% 太无聊了吧！‍‍‍‍‍‍‍‍‍也许只有亏过钱的人，不管是在赌场里，还是在失败的投资中，以及借钱出去收不回来，才能理解，i 等于 M，是一件多么幸福的事情。‍‍‍‍‍事实上，格雷厄姆的投资思想的第一原则，也许就是让 i 小于等于 M。‍‍继续代入数字：如果赌徒目标是翻倍（M=2i），那么获胜概率是 0.5；如果目标是翻三倍（M=3i），概率降到 0.33；如果想赢取巨额奖金（M>>i），概率就会趋近于 0。越贪心，输得越多。所以，即使是在理论上完全公平的赌场（p=0.5），赌徒的处境也是不利的，因为：只要目标收益率大于 100%，获胜概率就小于 0.5。想赢得越多，获胜概率就会越低。赌场的资金优势确保了长期来看，赌徒必输。对于一个资金有限的小赌徒，想要无限追求 " 挣到特别高的目标金额 "，获胜的概率当然几乎为零。并且，世界上哪里有完全公平的赌场呢？2. 不公平赌场（p

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编辑:钱汉祥

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发布于：和田县

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